GUSTAVO MAITA WESSOLOSSKY
En el Transporte ARV "PUERTO CABELLO" (T-44) se ha procedido a sustituir las estructuras "Palomeras" que permiten abrir las compuertas de las bodegas que son de forma de cilindro circular sin tapa con un volumen de 24 metros cúbicos. El precio del material que se usa para la base es el triple que del material que se usa para la parte curva. Se debe encontrar las dimensiones de la estructura para las cuales el costo sea mínimo.
 
Denotamos por "r" el radio de la base de la estructura y por "h" la altura en metros.
Como el volumen es de "24¶" metros cúbicos, tenemos:
¶r2h = 24¶

Esto nos da la relación

h = 24 /r2

entre r y h

Nuestro objetivo es lograr que el costo "C" del material usado en la construcción de la estructura sea mínimo.
 
 

Si "a" denota el precio por metro cuadrado del material que se usa para la parte curva, entonces el precio por metro cuadrado del material que se usa para el fondo será "3a". Así el costo del material para la parte curva es "a(2¶rh)" y el costo de la base es 3a(¶r2). El costo total C del material está dado por
 

C = 3a(¶r2) + a(2¶rh) = a¶(3r2 + 2rh)
 
 

O, como h= 24/ r2
 

C = a¶(3r2 + 48/ r)
 
 
Esta formula expresa a "C" como una función de una sola variable "r", ya que "a" es un número fijo. Para encontrar el valor de "R" para el cual "C" es mínimo, buscamos primero los números críticos. Derivando la ecuación anterior con respecto a "r" obtenemos:
 
 
DC/dr = a¶(6r – 48/r2) = 6a¶(r3 – 8)/r2
 
DC2/dr = 6a¶ + 144/r3
 
Como DrC = 0 si r = 2, vemos que 2 es el único número crítico. (El número 0 no es un número crítico porque "C" no está definido en r = 0). Como DrC < 0, si r < 2 y DrC > 0 si r > 2, se concluye, gracias al criterio de la primera derivada, que "C" alcanza su valor mínimo cuando el radio de la estructura mide 2 metros.
 
 
DC2/dr = 6a¶ + 144/r3
 
 
Al observar que el valor de DC2/dr es > 0 (para r=0) también podemos concluir que estamos en presencia de un valor mínimo.
 
 

Recordemos que si:
 
 

DC2/dr es > 0 => Mínimo
DC2/dr es < 0 => Máximo
DC2/dr es = 0 => Punto de inflexión
 
 
El valor correspondiente de la altura (que se obtiene de h = 24/r2) es 24/4 = 6 metros.
 
 
En conclusión, la altura que se obtiene de la estructura para que el costo sea mínimo es de
6 mts.