A principios de siglo XVII un abogado, aficionado a las matemáticas va a lanzar una serie de retos, basados en los números más simples, los enteros, a toda la comunidad matemática. Es Pierre de Fermat.
La
inspiración para estos retos la encontró en un antiguo libro de
matemáticas escrito allá por el siglo III, la Aritmética de
Diofanto. En uno de sus márgenes Fermat va a escribir una frase
que se convertirá en una de las más atractivas de la historia
de las matemáticas. Su famoso último teorema:
"No
existen soluciones enteras para la ecuación xn + yn
= zn
cuando
n es mayor que 2"
Fermat afirma que había encontrado la demostración pero por desgracia no le cabe el margen. Una desgracia que ha traído en jaque a los mejores matemáticos durante más de 350 años. Haremos un recoirrido histórico por los intentos de demostrar este teorema a lo largo de tres siglos y presentaremos a Wiles, un matemático inglés que en 1994 pasó a la historia… Por fin alguien había conseguido demostrar el "ultimo teorema de Fermat"
Es uno de los más notables matemáticos de todos los tiempos.
Nació el 20 de agosto de 1601 en Beaumont-de-Lomagne (Francia). Tuvo una buena educación pues su padre era un próspero comerciante de pieles.
Fermat era funcionario, en 1631 fue nombrado concejal en la cámara de peticiones (conseiller au parlament de Toulouse). Su trabajo consistía en servir de enlace entre los ciudadanos y el gobierno y el rey. Una de las facetas de su trabajo era juzgar determinados asuntos.
En aquellos años la peste arrasaba Europa y esto facilitó el ascenso de Fermat en su carrera, porque aquellos que sobrevivían tenían que cubrir los puestos de los fallecidos. Fermat estuvo muy cerca de la muerte en 1652 debido a la peste, incluso fue dado por muerto por alguno de sus amigos.
Fermat, bien por timidez o porque le gustaba fastidiar a sus colegas, no revelaba sus demostraciones.
Tuvo una disputa matemática con Descartes y éste tuvo que retractarse.
Fermat contribuyó notablemente a la teoría de la probabilidad, y al cálculo. Siempre se dice que Newton y Leibniz son los fundadores del cálculo, sin embargo, se ha descubierto que Newton utilizó para el desarrollo del cálculo el método de trazar tangentes de Fermat. Pero Fermat ha pasado a la historia por una anotación que escribió en los márgenes de un libro. Decía que había descubierto una maravillosa demostración pero que no le cabía en ese espacio. Falleció sin haber hecho pública nunca la solución y los matemáticos han intentado demostrar lo que se conoce como el llamado Último teorema de Fermat. El teorema se refiere a las ecuaciones del tipo: xn + yn = zn , en el caso de n = 2 resulta el teorema de Pitagoras. Según Fermat no existe solución, en el campo de los números enteros, a este tipo de ecuaciones, cuando n es un número entero superior a 2. Ahora se cree, aunque es imposible demostrarlo, que Fermat, en realidad, no encontró una demostración válida de su teorema.
Recientemente Andrew Wiles ha demostrado el teorema. Os recomiendo el libro El enigma de Fermat (autor Simon Singh. Ed. Planeta)
Último teorema de Fermat
Cuando Fermat leyó Aritmética, la obra del matemático griego Diofante, se interesó por los números pitagóricos (conjunto de tres números enteros a, b y c que verifican la ecuación) propuso que no existía ninguna terna de números enteros que verificaran la generalización del Teorema de Pitágoras para n>2, esto es:.
Fermat publicó en su ejemplar de la Aritmética que había descubierto una demostración extraordinaria que no cabía por tener poco margen. Desde entonces muchos matemáticos han tratado de demostrar este teorema o de encontrar una excepción que indicara la falsedad del teorema.
En 1908 la universidad alemana de Gotinga ofreció un premio de cien mil marcos para quien demostrara la veracidad de dicho teorema antes del 13 de Septiembre del 2007. Por medio de ordenadores se ha comprobado el teorema para exponentes hasta 125000, pero no se ha conseguido todavía la demostración general. En junio de 1993 el matemático británico de la universidad estadounidense de Princeton, Andrew Wiles afirmó que había logrado demostrar el teorema. En Diciembre de ese mismo año se encontró un fallo en la demostración, pero Wiles siguió trabajando en ella con unos resultados que actualmente son aceptados por gran parte de la comunidad matemática.
El
"pequeño" teorema de Fermat,
el corazón del sistema
RSA.
(1) Si p es primo y a es cualquier número natural que no es múltiplo de p, entonces ap-1 da resto 1 al dividirlo por p.
Ejemplo: p=7, a=15,
ap-1=156
=11390625=1627232·7
+ 1
(2) La generalización
sencilla, raíz del sistema RSA:
Si p y q son primos y a es
cualquier número que no es múltiplo de pq, entonces a(p-1)(q-1) dividido por pq da resto 1.
Ejemplo: p=7, q=11, a=23,
(p-1)(q-1)=60
2360=
50544064300378852729810461353568392757/
15416508617402090310185410509132307928/
805601=
77·656416419485439645841694303293096009/
833170975145117154585738365001186014016/
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