2.4. SISTEMAS DE FUNCIONES ITERADAS (SFI)

    Para construir un fractal autosemejante partimos de un número finito de transformaciones que son semejanzas contractivas.

    Una aplicación f : Rn ---> Rn, se llama contractiva si:
 

d(f(x),f(y)) £ r·d(x,y), " x, y Î Rn

donde r Î [0,1) se llama razón de contracción.

    Toda aplicación contractiva es continua.

    Entre dos figuras semejantes y distintas del plano euclídeo, siempre existe una aplicación contractiva que transforma la mayor en la menor. Esta aplicación contractiva es una composición de isometrías (traslaciones, giros y simetrías) y una homotecia contractiva.

    La forma general de la aplicación contractiva es:
 

F(x,y) = (a·x + b·y + e , c·x + d·y + f)

    Para determinar los coeficientes a, b, c, d, e, f, se procede a determinar las imágenes de tres puntos y a resolver el correspondiente sistema de 6 ecuaciones con 6 incógnitas que nos dará sus valores.

 


2.4.1. TRANSFORMACIONES ELEMENTALES DE R2

    Cualquier giro, simetría u homotecia se puede obtener por composición de las siguientes transformaciones elementales:

    Traslación de vector (a ,b ):
 

f(x,y) = (x + a ,y + b )

    Giro de ángulo q y centro el origen:
 

f(x,y) = (x·cosq - y·senq ,x·senq + y·cosq )

    Simetría respecto del eje de abscisas:
 

f(x,y) = (x,-y)

    Homotecia centrada en el origen de razón K:
 

f(x,y) = (K·x,K·y)

 


2.4.2. ¿QUÉ ES UN SFI?

    Llamaremos sistema de funciones iteradas (SFI) en Rn a cualquier familia finita {f1,...,fN} de aplicaciones contractivas, y llamaremos razón de contractividad del SFI a r = máx {r1,...,rN}, donde cada ri es la razón de contractividad de la correspondiente fi.

 


2.4.3. ¿QUÉ ES UN ATRACTOR DEL SFI?

    Sea {f1,...,fN} un SFI en Rn de razón de contractividad r. Entonces existe un único fractal A Î H(Rn) / F(A) = A.

    Además, para cualquier fractal B Î H(Rn) se cumple:
 

limk->¥ FK(B) = A

en el espacio métrico completo (H(Rn),dH).

    Sea {f1,...,fN} un SFI sobre Rn. Se llama atractor del SFI al único fractal A que verifica:
 

F(A) = A

    Un método para calcular el atractor asociado a un SFI consiste en partir de cualquier B Í H(Rn) e iterar la aplicación F sobre B, calculando {FK(B)}K=0,..,¥ . Aplicando el teorema del punto fijo, acotamos la distancia entre el atractor y la aproximación como sigue:
 

dH(FK(B),A) £ 1/(1 – r) · dH (FK(B),FK+1(B))

 


2.4.4. APROXIMACIÓN DE IMÁGENES MEDIANTE FRACTALES

    Esta aproximación se basa en el "Teorema del Collage" (M.F.Barnsley’86).

    Sea I Î H(Rn) una imagen real. Dado e > 0, sea {f1,...,fN} un SFI con factor de contractividad r / dH (I,F(I)) £ e .

    Entonces:
 

dH (A,I) £ e / (1 – r)

donde A es el atractor del SFI.

    Se puede observar que la aproximación del atractor a la imagen es tanto mejor cuanto menor sea el valor del factor de contractividad, y la aproximación no depende del número de aplicaciones del SFI.


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Pablo López Cienfuegos
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Última revisión: 03/06/98