PABLETE EN LA RED
Página dedicada a Ana Rosa Fernández Sánchez

3.2. CONSTRUCCIÓN DE FRACTALES MEDIANTE AUTÓMATAS CELULARES

     Pasaremos ahora a describir algunos procesos de construcción de fractales mediante los autómatas celulares. La filosofía de esta aproximación es la misma que siempre: reglas simples locales para generar comportamientos complicados globales.

     Es preciso notar una diferencia con otros métodos de construcción de estructuras autosemejantes, como por ejemplo los sistemas de funciones iteradas: en este caso, incluso desde el punto de vista teórico sólo podemos llegar a una aproximación del fractal, puesto que el conjunto de puntos que podemos representar es a lo sumo numerable.

     Esta objeción es puramente teórica, puesto que en la práctica tampoco podemos iterar infinitas veces un SFI y aunque fuesemos capaces de hacerlo la resolución de la pantalla (número de pixels) o de cualquier otro medio que empleemos para representar un fractal es finita. Sin embargo en la práctica esto fuerza a que debamos fijar a priori el grado de precisión que queremos, para fijar el tamaño del espacio celular: no podemos iterar hasta obtener una aproximación que consideremos "buena" como en SFI.


3.3. EJEMPLOS MISCELÁNEOS

Ejemplo 1

     Consideremos las siguientes reglas (entornos de Moore):

     Así pues, partiendo del siguiente estado inicial:

image17.gif - 578 Bytes

     Vamos obteniendo...

image19.gif - 671 Bytes

image18.gif - 818 Bytes

image20.gif - 1007 Bytes

     Realizando un número mayor de iteraciones, con un espacio celular más grande, obtenemos:

image21.gif - 2661 Bytes

Ejemplo 2

     Consideraremos ahora entornos de von Neumann (regla N S E O) y una regla muy similar a la "one out of eight":

     Resulta interesante ver que en este caso, a diferencia del anterior, el proceso de formación no va creando estructuras semejantes entre sí, sino que consiste en un proceso de expansión-consolidación:

     Para ver esto lo mejor es mostrar un ejemplo partiendo de una única celda central:

image22.gif - 718 Bytes
Estado Inicial

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Tercera iteración y fin de la expansión

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Cuarta iteración y consolidación

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Quinta iteración

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Sexta iteración; nueva expansión

     Ejemplo tras numerosas iteraciones en un espacio celular mucho mayor:

image27.gif - 6407 Bytes

Ejemplo 2: Variantes

     Si en vez de considerar como entorno las cuatro casillas N S E O consideramos las diagonales, tenemos una estructura análoga que en algunas iteraciones se parece al copo de nieve matemático, si bien en el fondo es muy distinto:

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Estado Inicial

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Tras 11 iteraciones

     Las propiedades de crecimiento (expansión-consolidación) son análogas. Por otro lado, si consideramos un autómata celular probabilístico, que opte por utilizar en cada entorno las reglas de 2 (N S E O) y su variante (las diagonales) con probabilidad 1/2 el resultado no es ninguna estructura reconocible con propiedades elementales de autosemejanza:

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Estado Inicial

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Tras varias iteraciones

     De hecho puede verse que no se estabiliza aún después de muchas iteraciones.


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Trabajo realizado por Andrés García Mirantes
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Última modificación:  27 FEB 99