Bastan cuatro tintas para colorear un mapa de un país, de modo que nunca dos estados adyacentes nunca tengan el mismo color. Se ha probado la veracidad de esta famosa conjetura mediante una demostración aparecida "recientemente".

El problema de los cuatro colores se presento por primera vez en 1852 por Francis Guthrie, pocos meses después de terminar sus estudios en University College of London. Su hermano, Frederick Guthrie estaba estudiando en la misma Universidad que él y era discípulo de Augustus De Morgan. Francis Guthrie le enseñó a su hermano Frederick algunos resultados que estaba tratando de comprobar sobre el coloreo de mapas con sólo cuatro tintas, más bien, se preguntaba sí sería posible demostrar matemáticamente este hecho, y le pidió a Frederick que le preguntara a De Morgan sobre estos.

De Morgan no pudo dar respuesta pero, en Octubre 23 de 1852, el mismo día en que se le hizo la pregunta, le escribió a Hamilton en Dublín. El escribió.-

Un estudiante mío me pregunto que le diera razón a un principio que yo mismo no supe que era principio. El dice que sí una figura es dividida y los compartimentos coloreados con distintos colores de tal manera de que los bordes de las divisiones son coloreados de diferentes colores - cuatro colores se requieren, pero no más - el siguiente es el caso en que cuatro colores se requieren. Por favor dígame sí tengo razón.

Hamilton no lo pudo refutar por el momento. De Morgan estuvo preguntando sí alguien podía encontrar solución al problema de Guthrie y varios matemáticos trabajaron con el. Charles Peirce en Estados Unidos trato de probar la Conjetura en 1860 y tuvo un interés sobre este problema que le duro toda la vida. Cayley también aprendió del problema de De Morgan y en junio 13 de 1878 propuso una pregunta a la Sociedad Matemática de Londres para averiguar sí este problema ya se había resuelto. Poco después Cayley mando un papel "El coloreo de mapas" a la Sociedad Real Geográfica que se publicó en 1879. El papel explica donde están las dificultades en tratar de comprobar la Conjetura.

En julio 17 de 1879 Alfred Bray Kempe anuncio en Nature que tenia una "prueba" de la Conjetura de Cuatro Colores. Kempe era un abogado en Londres que había estudiado matemáticas bajo Cayley en Cambridge y empleó mucho tiempo de su vida en las Matemáticas. Bajo la sugestión de Cayley, Kempe sometió el Teorema al Diario Americano de Matemáticas donde fue publicado en 1879. Story leyó el papel antes de su publicación e hizo algunas simplificaciones. Story reporto la prueba a la Asociación Científica de la Universidad de John Hopkins en noviembre de 1879 y Charles Peirce, quien estaba en la junta de noviembre, hablo en la junta de diciembre de la Asociación sobre su propio trabajo sobre la Conjetura de Cuatro Colores.

Kempe utilizó un argumento conocido como el Método de Cadenas de Kempe. Sí tenemos un mapa en donde cada región esta coloreada rojo, verde, azul o amarillo excepto uno, digamos X. Sí esta región final X no esta rodeada de otras regiones con todos los otros cuatro colores entonces existe un color para X. Entonces sí suponemos que regiones de todos los colores rodean a X. Sí X esta rodeada por regiones A, B, C, D en orden, coloreados rojo, amarillo, verde y azul entonces existen dos casos para considerar.

(I) No existe una cadena adyacente de regiones de A a C alternadamente coloreados rojo y verde.

(II) Existe una cadena adyacente de regiones de A a C alternadamente coloreados rojo y verde.

Sí (I) es verdadero entonces no hay problema. Cambie A a verde, y después intercambie el color de las regiones rojo/verde en la cadena que une A. Como C no esta en la cadena queda verde y consecuentemente no hay una región roja adyacente a X. Coloree X rojo.

Si (II) es verdadero entonces no puede haber una cadena de regiones amarillo/azul de B a D. (No puede cruzar la cadena de regiones rojo/verde.) Queda que la propiedad (I) se mantiene para B y D y cambiamos los colores como arriba.

Kempe recibió mucho aclamo por su prueba. Fue elegido Miembro de la Sociedad Real y sirvió como tesorero por muchos años. El publicó dos versiones mejoradas de su prueba, la segunda en 1880, llamó la atención de P G Tait, el Profesor de Filosofía Natural en Edimburgo. Tait hablo ante la Sociedad Real de Edimburgo sobre el tema y publicó dos papeles sobre (lo que ahora llamamos) el Teorema de Cuatro Colores. Contienen algunas buenas ideas y un numero de errores básicos.

El teorema de Cuatro Colores regreso a la Conjetura de Cuatro Colores en 1890. Percy John Heawood, un orador en Durham Inglaterra, publicó un papel llamado el Teorema para colorear mapas. En el dice que su meta es: en vez de constructivo, destructivo, puesto que se va a ver que existe un defecto en lo que parece ser una prueba reconocida y comprobada.

Aunque Heawood mostró que la prueba de Kempe estaba mal, comprobó en su papel que cualquier mapa puede ser coloreado por 5 colores. Kempe reporto el error a la Sociedad Matemática de Londres, el mismo y dijo que no podía corregir el error en su propia prueba. En 1896 de la Vallée Poussin también relució el error en el papel de Kempe, aparentemente ignorante del trabajo de Heawood.

Heawood trabajó todo su vida en el coloreo de mapas, trabajo que tardo casi 60 años. Exitosamente investigó los colores necesarios para mapas en otras superficies y dio lo que se conoce como el estimado de Heawood para el número necesario en términos de la característica Euler de superficie.

Heawood hizo otras contribuciones a la Conjetura de Cuatro Colores. En 1898 comprobó que sí el numero de limites alrededor de cada región es divisible por tres, entonces se puede colorear con 4 colores. Después escribió varios papeles para generalizar este resultado.

Heesch en 1969 introdujo el método de descarga, penso que la Conjetura de Cuatro Colores podría resolverse considerando un set de alrededor 8900 configuraciones. Había dificultades con su punto de vista debido a que algunas de sus configuraciones tenían hasta 18 limites.

El año 1976 vio una completa solución a la Conjetura de Cuatro Colores cuando por fin se convirtió en el Teorema de Cuatro Colores por segunda y ultima vez. La prueba se hizo por Kenneth Appel y Wolfgang Haken. Siguieron las ideas de Heesch y eventualmente construyeron un set inevitable con alrededor de 1500 configuraciones. Lograron mantener el anillo de limites a menos de 14. Hubo un período muy largo donde utilizaron prueba y error en conjunto con intuición increíble para modificar su set inevitable y su procedimiento descargable. Appel y Haken utilizaron 1200 horas de tiempo de computo para trabajar con los detalles de la prueba final. Koch asistió a Appel y Haken con los cálculos de computo.

El Teorema de Cuatro Colores fue el primer gran teorema en ser resuelto con una computadora, teniendo una prueba que no se podía verificar directamente por otros matemáticos. De hecho no puede comprobarse la veracidad de la demostración sin auxilio de una computadora. A pesar de sus preocupaciones iniciales, la verificación independiente por fin convenció a todo mundo que el Teorema de Cuatro Colores había sido probado.

Este artículo trata principalmente de los pasos correspondientes para llegar al resultado, es decir, cómo se formularon las primeras hipótesis para llegar a la conclusión que ahora conocemos del Teorema de los cuatro colores. Traté de manejar un lenguaje no tan preciso, para que sea entendible para mayorías. Sabemos que este problema paso por las manos del gran lógico-matemático; Augustus De Morgan, que aunque no fue él quien lo resolvió, influyó bastante en el comienzo de éste. Como lo dicen Appel y Haken, no se puede comprobar matemáticamente el Teorema de los cuatro colores sin la ayuda de ordenadores.

This article enter upon main the steps to get the solution of the four color theorem, I try to say, how make out the first hypothesis to reach the conclusion today know it. The problem I was aboard with easy language, for the understanding of the improper people. We know the influx in this problem of the logical-mathematic; Augustus De Morgan, though him not resolve, the influence is very important in the begin of the case. Like the words of Appel and Haken, can’t mathematic prove the theorem with out a computer system.