CHAPITRE 3 : LES
CIRCUITS À COURANT ALTERNATIF
1. La résistance pure :
Le circuit le plus simple qu’on puisse étudier en courant alternatif est
composé d’une source de tension et d’une résistance. La tension
alternative appliquée est sinusoïdale soit :
v = Vm sin wt (1)
Le courant instantané dans la résistance est :
i = v / R = Vm sin wt /R = (Vm /R) x
sin wt
Ou encore, si on fait Vm / R = Im
i = Im sin wt (2)
Les équations (1) et (2) nous font voir que la tension aux bornes de la
résistance et le courant dans cette résistance varient comme sin wt.
On dit que la tension et le courant sont en phase dans la résistance. Quand l’un
est maximal, l’autre l’est aussi (temps t1 de la figure suivante), de même
les valeurs sont nulles en même temps (temps t2). Le courant et la tension se
comportent comme dans un circuit à courant continu.
2. Condensateur seul :
Analysons ce qui se passe dans
un circuit composé d’une source et d’un condensateur. La tension appliquée
a la forme :
v = Vm sin wt
Supposons qu’on applique la tension à t = 0. Durant le
premier demi-cycle circule de (a) à (b) (voir figure suivante) un courant i et
un des côtés du condensateur devient positif. L’autre côté devient nécessairement
négatif, le courant allant dans ce cas de (c) à (d).
Durant
le second demi-cycle, les courants sont inversés ; ils vont de (b) à (a) et de
(d) à (c). Si on considère un point quelconque du circuit, soit le point P, il
y est passé un courant dans un sens durant le premier cycle et un courant dans
l’autre sens durant le second cycle. Ceci s’est fait même si aucune charge
réelle n’a traversé le condensateur.
C’est
la façon dont circule le courant dans un condensateur quand on applique une
tension alternative. Si on appliquait une tension continue, il circulerait un
courant seulement durant la charge du condensateur, après quoi le courant
serait nul. On peut donc dire qu’un condensateur bloque complètement le
courant continu tandis qu’il laisse passer le courant alternatif.
Contrairement à ce que nous avons trouvé pour le
circuit contenant une résistance, le courant et la tension ne sont pas en phase
dans un circuit contenant un condensateur.
On montre ceci de la façon
suivante : on est au point (o) de la courbe de la tension en fonction du
temps. À ce moment, il n’y a aucune charge sur le condensateur et le courant
peut se rendre « librement » , le courant prend alors sa valeur
maximale. À mesure que la tension augmente, la charge sur le condensateur
augmente aussi et le courant diminue proportionnellement à cause des charges déjà
en place qui repoussent celles qui veulent y venir. Quand la tension est
maximale, le condensateur est complètement chargé et le courant devient nul
(point o’) ; quand la tension décroît, le courant devient négatif, c’est
à dire change de sens. On voit que le courant et la tension ne « marchent »
pas ensemble ; quand l’un est maximum, l’autre est nul et réciproquement ;
on dit que le courant n’est pas en phase avec la tension. D’après la
figure, l’angle de phase entre
ces deux quantités est de 90o.
Le courant est en avance de 90o
sur la tension. Les équations de ces grandeurs sont :
i = Im sin (wt + 90o)
(3)
v = Vm sin (wt)
(4)
sin q
=cos (q – 90o)
sin
(wt +90o) = cos (wt + 90o – 90o) = cos wt
L’équation
(3)
s’écrit alors : i = Im cos wt
Le courant varie comme la
fonction cosinus et la tension varie comme la fonction sinus.
La charge instantanée q
sur le condensateur est q = C x
v où C = capacité du condensateur
q = C Vm sin (wt)
Le courant est le taux de variation de la charge sur le
condensateur par rapport au temps
dq d
i
= ----- = ---- (C Vm sin wt) = C Vm
w cos wt
(calcul de dérivées d’un niveau supérieur)
dt
dt
i = Im cos wt
= C Vm w cos wt
Im = w C Vm
Exprimons
cette équation sous la forme de la loi d’ohm (v = R i)
La
quantité (1/ Cw) correspond donc à
une résistance. Elle a en effet les unités d’une résistance
Au
lieu de l’appeler résistance, on l’appelle réactance, et pour la
distinguer d’une autre sorte de réactance que nous allons étudier à la
prochaine section, son nom complet est réactance
capacitive. On la désigne souvent par le symbole XC.
On voit
que la résistance au courant alternatif due à un condensateur varie
inversement avec la fréquence de
la tension appliquée ; plus celle-ci est grande, plus la résistance est
faible.
En
courant continu (F=0), elle est infinie et le courant ne passe pas.
Résumé : quand on branche un
condensateur dans un circuit dans lequel circule un courant alternatif, on
observe :
·
Qu’il circule un courant dans le circuit même si le
condensateur arrête complètement
le courant continu.
- Que le courant est en avance sur la
tension aux bornes du condensateur de 90o
- Que la réactance du condensateur
varie suivant la fréquence de la tension appliquée
·
Que le courant varie suivant la réactance du condensateur, donc
suivant la fréquence de la tension appliquée.
Exercice
: Calculer la réactance capacitive d’un condensateur de 2 mF
aux fréquences de 60 Hz, 100 Hz et 1 Mhz. Ce même condensateur est branché à
une source de tension de 120 volts aux fréquences indiquées. Calculer les
courants qu’il laisserait passer.
------------------------------
i = Im sin wt
XC
= 1.59 KW
VR
= R I
VC
= XC
I
3.1.
Impédance :
La résistance
équivalente à la combinaison de la résistance et de la réactance capacitive
du condensateur s’appelle impédance et est notée par la lettre Z. La tension
totale peut alors s’écrire :
V = Z I
Comme c’est un circuit
série et que le courant est le même dans chacun des éléments, en divisant
chacun des termes du triangle des tensions par I, on obtient le triangle des
impédances suivant :
À partir du triangle des impédances, on peut déterminer
l’impédance totale du circuit en appliquant le théorème de pythagore.
Connaissant
Z, on peut déterminer I, VR,
et VC
I
= V/Z = 4/2190 = 1.83 mA
VR
= R I = 1.5 KW
x 1.83 mA = 2.75 V
VC
= XC
I = 1.59 KW
x 1.83 mA = 2.91 V
Vérification :
Le déphasage entre le courant et la tension totale peut être déterminé
en utilisant une relation trigonométrique à l’un ou l’autre des triangles
ci-dessus (triangle des tensions ou triangle des impédances).
Exercice
1 :
soit le circuit suivant :
a/ Calculer
l’impédance totale du circuit.
b/ Calculer le courant I et les tensions VR et VC.
------------------------
Exercice
2 : on soumet un condensateur de 1 mF
en série avec une résistance de 100 W
à une tension alternative de 10 volts. La fréquence de la source est de 1000
Hz.
a/
Quelle est la réactance du condensateur ?
b/
Quelle est l’impédance totale du circuit ?
c/
Quel est le courant efficace qui circule dans le circuit ?
d/
Quel est le déphasage entre le courant et la tension ?
e/
Quelle est la d.d.p. efficace aux bornes de la résistance ?
f/
Quelle est la d.d.p. efficace aux bornes du condensateur ?
------------------
XC
= 159 W
Z=
189 W
I
= 53 mA
q
= 580
VR
= 5.3 volts
VC
= 8.4 volts
3.2.
Rappels de mathématiques :
3.2.1.
Variation directe (ou variation directement proportionnelle)
y = 5 x
peut se traduire par :
Ø
y varie directement comme x
Ø
y est proportionnel à x
y
Ø
Le rapport ---------
= 5 = constante même si x et y varient
x
Exemple
V = R I = 100 x I
Ø
I varie directement comme V
Ø
I est proportionnel à V
Le
tracé de la fonction V = R x I est une droite
3.2.2.Variation
inverse (ou variation inversement proportionnelle)
1 5
y
= 5 x ------ =
------
se traduit par
x x
Ø
y varie comme l’inverse de x
Ø
y est inversement proportionnel à x
Ø
Le produit y . x = constante
Exemple :
1
V
10
I
= --------- x V
= -------- = -----
Ø
I est inversement proportionnel à R
Ø
R x
I = 10 x 1 =
100 x 0.1 = 10
= constante
Le tracé de la fonction I = V / R est une
hyperbole
3.2.3.Fonction
exponentielle
On
appelle fonction exponentielle de base a, la fonction définie par ax
si a est un nombre entier différent de 1.
Exemple
y = 2x, y =
3x, y = 10x
Soit à tracer la fonction y = 2x
x
= 0
; y = 20 = 1
x
= 1
; y = 21 = 2
x
= 3
; y = 23 = 8
x
= -1
; y = 2-1 = 0.5
3.2.4.Fonction
logarithmique
Logarithme
est la fonction réciproque de la fonction exponentielle
Soit
la fonction exponentielle y = 10x. Connaissant x, on peut déterminer
y
x
= 0, y = 100 = 1
x
= 1, y = 101 = 10
x
= 2, y = 102 = 100
x
= 3, y = 103 = 1000
Pour
trouver la réciproque, on inverse x et y. À quelle puissance faut-il élever
10 pour trouver y. Connaissant y, on veut déterminer x.
x
= inverse exponentielle10 y, c’est à dire que x est la réciproque
exponentielle de y de base 10.
Une
notation particulière due aux travaux de Jean Neper (1550-1617) et Henry
Briggs (1561-1630) sur les logarithmes à été acceptée. On a défini :
la fonction logarithmique est la réciproque de la fonction exponentielle.
Exemple
1 : soit la fonction y = 10x
Pour
x = 4 , y = ?
y
= 10x = 104 = 10 000
Exemple
2 : soit la fonction y = 10x
Pour
y = 10 000 , x = ?
x
= inverse exponentielle (10 000) = logarithme 10 000 = 4
Il
existe autant de systèmes différents de logarithmes qu’il y a de nombres
pouvant servir de base i.e. un nombre infini. Cependant deux systèmes sont
particulièrement importants et utilisés :
Les
logarithmes à base 10 ; on les appelle aussi logarithmes vulgaires ou
ordinaires parce qu’ils sont les plus communément employés car ils sont liés
à notre système de numération décimale.
Les
logarithmes naturels ou népériens (du nom de leur inventeur Neper) dont la
base est e = 2.718281828 utilisé dans les formules mathématiques avancées.
Pour
distinguer les logarithmes naturels des logarithmes de base 10, on écrit :
y
= log10 x = log x pour les logarithmes ordinaires
et
y = loge x = ln x pour les logarithmes naturels
3.2.5.Échelle
logarithmique
Un
axe gradué linéairement est mal adapté pour la représentation d’une
grandeur dont les valeurs forment un éventail très ouvert ; c’est le cas
du domaine des fréquences de fonctionnement d’un amplificateur.
Exemple :
sur une feuille de 28 cm de large, on ne peut représenter que
2.8 Khz si on adopte une échelle de 1 cm = 100 Hz.
Nous
utiliserons donc pour l’axe des fréquences une échelle logarithmique.
Celle-ci est obtenue en séparant les valeurs par des intervalles
proportionnels à leur logarithme.
Log 1 = 0 ; Log 10 = 1 ; Log 100 = 2 ; Log 1000 = 3 etc.
Remarque : une
grandeur concrète n’a pas de logarithme. On ne peut exprimer que le
logarithme d’un nombre abstrait : le logarithme de 40 Khz n’existe
pas ; en revanche nous pouvons écrire :
40 000 Hz
Log ( -----------------) = log 40 000 = 4.6
1 Hz
On trouve dans le
commerce des feuilles de papier à 3 ou 4 cycles (modules) qui permettent de
tracer des courbes :
Ø
En coordonnées logarithmiques, si les deux axes sont ainsi
gradués.
Ø
En coordonnées semi- logarithmiques, si l’un des deux axes
est à l’échelle linéaire.
Lorsqu’un
conducteur est déplacé dans un champ magnétique de telle sorte qu’il coupe
les lignes de force, une tension apparaît à ses bornes. Le même effet se
produit si un conducteur fixe est placé dans un champ magnétique variable.
En courant alternatif,
l’amplitude du signal varie et inverse son sens
Les conséquences
de la variation du champ magnétique sont les mêmes que celles d’un champ
magnétique en mouvement. Il crée donc une tension induite dans le fil qu’il
va parcourir.
Soit une bobine parcourue par un courant alternatif. Le flux embrassé par la bobine augmente
avec l’intensité du courant qui traverse cette dernière. La variation du flux embrassé par la bobine induit une tension aux bornes de celle-ci.
En d’autres termes, l’effet induit (eind) tend à établir un courant qui
s’oppose à l’augmentation de l’intensité du courant traversant la
bobine.
Définition : Le courant induit a un sens tel que ses effets s’opposent à la cause qui lui
a donné naissance.
4.3.
Inductance propre :
Puisque la f.é.m. induite s’oppose à toute variation de l’intensité du courant qui traverse
la bobine, on l’appelle force contre électromotrice (f.c.é.m.).
L’aptitude
d’une bobine à s’opposer à toute variation de l’intensité du courant
est une mesure de son inductance propre
(L).
L’inductance
L s’exprime en Henry (H) ; elle dépend
du nombre de spires (N), de la section du noyau (A), de sa composition (m)
et de la longueur du fil (l).
N2 m A
L = -------------
l
Le Henry est l’inductance qui permet d’induire une tension de 1 volt quand le courant
varie de 1 ampère par seconde.
di
vL = - L ----
dt
4.4.
Circuit à inductance seule
Lorsque la tension aux bornes de l’inductance est maximale, le courant est nul :
c’est que la force électromotrice
induite, étant de sens inverse, annule complètement la tension fournie par la
source. Notons que la tension est soit positive soit négative suivant que le
courant est croissant ou décroissant. De même la force contre électromotrice
aux bornes de l’inductance est nulle lorsque le taux de variation du courant
dans le circuit est nul. Ceci se produit lorsque l’amplitude du courant
est maximale. La tension précède le courant d’un angle de 900.
Alors si la tension est donnée par :
v = Vm sin wt,
Le courant
dans le circuit prend la forme :
i = Im sin (wt
– 900)
di
L ----- = Vm sin wt
dt
Cette
équation a la forme de la loi d’ohm ; v = R i
La
quantité Lw qui fait fonction de résistance
est appelée réactance inductive.
C’est une mesure de l’opposition au courant d’une inductance dans un
circuit. On la représente par le symbole XL
On
voit que plus la fréquence est élevée plus la réactance est grande, tout le
contraire de ce que nous avons trouvé dans le cas du condensateur.
Résumé :
quand on connecte une inductance L à une source de tension alternative, on
observe que :
Ø
Le courant retarde sur la tension d’un angle de 900.
Ø
L’opposition au courant alternatif, mesurée par la réactance
de l’inductance, augmente avec la fréquence.
L’inductance
laisse passer le courant continu comme un conducteur ordinaire; dans ce cas la
fréquence est nulle, ce qui fait que la réactance est aussi nulle et, par conséquent,
seule la résistance R de la bobine limite le courant.
Exemple :
calculer la réactance inductive d’une inductance de 1 millihenry aux fréquences
de 60 Hz, 1000 Hz et 1 Mhz. Quels seraient les courants si l’inductance est
connectée à une source de tension alternative de 120 volts ?
---------------------
XL
= 2 p
F L
Pour
60 Hz,
XL
= 0.377 W,
I = 318 A
Pour 1000
Hz,
XL = 6.28 W
I = 19 A
Pour 1 Mhz,
XL = 6280 W
I = 19 mA
Termes à connaître pour les circuits en courant
alternatif :
|
Nom
du composant
|
Unité
|
Opposition
|
Notation
et formule
|
Unité
|
Déphasage
de V par rapport à I
|
|
Condensateur
(C)
|
Farad (F)
|
Réactance
capacitive
|
XC
= 1/2pFC
|
|
- 900
|
|
Résistance
(R)
|
Ohm (W)
|
|
|
|
00
|
|
|
Henry
(H)
|
Réactance
inductive
|
XL
= 2pFL
|
Ohm(W)
|
+ 900
|
5. Puissances active, réactive et apparente :
Ø
Une résistance consomme l’énergie provenant de la source pour
la transformer en chaleur. Cette quantité d’énergie est appelée
« puissance réelle » ou « active », laquelle se mesure
en watts. P = R I2
Ø
Une des caractéristiques de la bobine est de ne pas consommer
d’énergie. En effet, celle-ci restitue la même quantité d’énergie que
celle qu’elle absorbe. C’est pourquoi on appelle « puissance
réactive », la puissance associée à la bobine. La puissance réactive
de la bobine symbolisée QL
est déterminée par la tension qui se trouve à ses bornes multipliée par le
courant qui la traverse.
Cette unité de mesure permet de distinguer la puissance réactive de la
puissance réelle.
Étant donné
qu’aucun courant ne peut circuler à travers les plaques d’un
condensateur, celui-ci ne consomme aucune énergie. Toutefois, le condensateur
doit acquérir de la source une certaine quantité d’énergie pour se
charger. Cette quantité d’énergie représente une puissance réactive.
Dans un circuit
réactif (RL, RC, RLC), les deux types de puissance, réactive et réelle
(active), agissent simultanément. Étant donné que la puissance est
déterminée par le produit de la tension et du courant et qu’il existe un
déphasage entre ceux-ci dans chacun des composants, la puissance réactive et
la puissance réelle forment par conséquent un angle de 900.
Exemple
: Circuit RL
Pour pouvoir répondre à la demande de puissance de tout le
circuit, la source doit fournir une puissance capable de satisfaire la demande
de la puissance réelle et de la puissance réactive. Cette puissance totale
fournie par la source est appelée « puissance apparente » et est
symbolisée par la lettre S. Elle se mesure en volts ampères (VA).
S2 = P2
+ Q2
(VA)
(W)
(Vars)
6.
Circuit RLC série :
Un circuit RLC comprend les trois éléments suivants : une inductance L, une résistance
R, un condensateur C et une source de tension alternative de pulsation w.
I = V/Z = 72 mA
q =
43.6o
Vous avez appris jusqu'à maintenant qu'un circuit
« RLC série » peut être inductif ou capacitif selon la différence
entre la réactance inductive et la réactance capacitive. Toutefois, lorsque
la valeur de la réactance inductive est égale à celle de la réactance
capacitive (XL = XC), le circuit n'est ni inductif ni capacitif. Il s'agit
là d'un phénomène tout particulier appelé résonance.
7.1.
Principe de la résonance
Un
circuit RLC en série est dit en résonance lorsque les effets des réactances
s'annulent c'est-à-dire lorsque XL
= XC. Ceci se
produit pour une fréquence particulière notée Fo
1
1
XL = XC ==>
2 p
Fo L = -----------
==>
Fo2 = --------------
2 p
Fo C
4 p2
L C
L'impédance du circuit est alors à son minimum et est
simplement égale à la résistance du circuit
Le courant dans le circuit sera alors maximal (I = V / R) et
le déphasage entre I et V est
nul. Pour toute autre valeur de la fréquence, le
courant sera plus faible.
7.2. Tensions
dans un Circuit résonant RLC
Étant donné que le courant est partout le
même dans un circuit série et que les réactances sont
égales (XL =
XC), les
tensions aux bornes des composants L et C sont égales et s'annulent. Par conséquent
la tension appliquée au circuit
est égale à la tension aux bornes de la résistance.
Comme le courant est maximal à la résonance, la tension aux
bornes de la résistance sera aussi maximale comme le montre la figure suivante :
7.3.
Surtensions :
calculons les d.d.p. VC
et VL aux
bornes de C et de L au moment de la résonance.
VR
VR XL
VC = Xc x I = XC x -------- = XL x ------- = VR x (------)
R
R
R
Si on s’arrange pour que XL
soit plus grand que R, ce qui est facile en prenant du fil assez gros, le
rapport (XL/R)
peut être égal à 10, 50, 100, 200, 400 et même plus. La formule précédente
montre qu’aux bornes de C, la d.d.p. peut être beaucoup plus grande que la
d.d.p. aux bornes de la source : il y a surtension. On voit que si R=0, VC
= infini.
Le coefficient (XL
/ R) = Q s’appelle facteur de surtension, coefficient de surtension ou facteur de qualité ; il exprime la qualité du circuit. De même aux bornes de la
bobine :
VL
= V x Q
Puisque l'impédance d'un circuit RLC à la résonance est à son minimum, le
courant du circuit est à son maximum. De ce fait, la
tension aux bornes du condensateur et celle aux bornes de la bobine sont également
à leur maximum et peuvent être plus grandes que la tension de la source.
7.4.
Autres valeurs de Q à la résonance
Si on
remplace 2 p Fo par sa
valeur, Q peut s’écrire :
Cette formule est plus pratique, car en général on ne connaît pas
w mais plutôt L, C et R. À partir de cette relation, on voit que pour avoir une surtension, il faut que R soit petite, C petit et L aussi
grand que possible.
Comme à la résonance XL = XC,
Q peut s’écrire aussi sous cette forme :
XL
XC
1 1
Q = ----- = ------- = ------- x --------
R
R
R 2pFoC
Exemple :
supposons une inductance L et un condensateur C en série, où l’inductance L
est soumise à l’action d’un champ magnétique variable extérieur d’une
origine quelconque (émetteur TV) et soit E la f.é.m. induite dans cette
bobine. Si l’on accorde, grâce au condensateur, le circuit LC sur la fréquence
du champ magnétique extérieur, il y aura résonance et on aura :
E
I
= ------
R
La d.d.p.
aux bornes de C (ou aux bornes de L) est :
Soit L =
1000 mH, R = 10 W,
C = 1 nF et V = 1 mV
Q = 100
d’où VC = V x
Q = 1 mV x 100 = 100
mV
7.5.
Bande passante et fréquences quadrantales ou fréquences de coupure :
On appelle bande
passante la largeur totale DF définie
ci-dessus soit :
FO
DF = F1 – F2 = ------
Q
Les fréquences quadrantales sont les fréquences pour lesquelles le courant :
7.6.
Puissances du circuit à la résonance
Vous savez
désormais qu'un circuit RLC en série est à la résonance lorsque sa réactance
inductive est égale à sa réactance capacitive. Comme le courant est partout
le même dans un circuit en série, la tension aux bornes du condensateur est
égale à celle aux bornes de la bobine. Par conséquent, la puissance réactive
de la bobine (QL)
est égale à celle du condensateur (QC), et comme elles s'opposent l'une à l'autre, elles s'annulent.
P
= V x
I
Q = QL
– QC = 0
a)
Calculer le courant I
b)
Calculer VR et le déphasage avec I
c)
Calculer VC et le déphasage avec I
d)
Calculer VL et le déphasage avec I
e)
Déterminer le facteur de qualité Q du circuit
f) Si la fréquence de résonance du circuit est de 5 Khz, calculer la
largeur de bande ou bande passante.
g)
Quelle est la puissance fournie au circuit aux fréquences de coupure.
a)
À la résonance Z = R
V
10
I = ------ = -------- = 5 A
R
2
b)
VR = R I = 2 x 5 = 10 V ; q
= 00
c)
VC = XC I = 10 x 5 = 50 V ; q
= - 900
d)
VL = XL I = 10 x 5 = 50 V ; q
= + 900
XL
10
e)
Q = ------- = -------- = 5
R
2
Fo
f)
B = F1 – F2
= -------
Q
g)
P = R I2
= R (0.707 Imax)2 = 0.5 R I2max
P = 0.5 x 2 x (5)2 = 0.5 x
2 x
25 = 25 W
Exercice 2 : La
largeur de bande d’un circuit résonant série est de 400 Hz. Si la
fréquence de résonance du circuit est de 4 Khz, calculer le facteur de
qualité Q. Si R = 10 W, calculer
enfin l’inductance L de la bobine et la capacité C du condensateur du
circuit.
Fo
Fo
a)
B = F1 – F2 = ----- ==>
Q = -------
Q B
4000
Q
= ------------- = 10
400
XL
b)
Q = ----- ==>
XL = Q x
R = 10 x 10 =
100 W
R
XL
100
c)
XL = 2 p
Fo L ==>
L = ----------- = ----------------- = 3.98 mH
2 p
Fo
2 p
x 4000
1
1
1
d)
XC = ----------- ==>
C = -------------- = ---------------------- = 398 nF
2 p
Fo C
2
p
Fo XC
2 p
x
4000 x 100
Exercice 3 : La fréquence
de résonance d’un circuit RLC série est de 12000 Hz. Si R = 5 W
et que XL à la résonance soit de 300 W,
calculer la bande passante du circuit. Quelles sont les fréquences de coupure
?
Fo
Fo
Fo x R
12000 x
5
a)
B = ------- =
-------- x R =
---------- = ------------- = 200 Hz
Q XL
XL
300
B
b)
F1
= Fo + ----- = 12000 + 100 = 12100 Hz
2
B
c)
F2
= Fo + ------- = 12000 – 100 = 11900 Hz
2
Exercice 4
a/ Tracer le diagramme
de phase des tensions VR,
VC, VL
et du courant I.
b/ Tracer le triangle
des impédances.
c/ Déterminer Z, VR,
VC et VL.
d/ Si
L = 5 mH, quelle est la
fréquence du circuit ?
e/ Déterminer le déphasage
entre I et V
I
= 50 / 11.2 = 4.46 A
VR
= 22.3 V
VC = 89.2 V
VL
= 133.8 V
XL = 2 p
F L ==> F = 955 Hz
Tan
q = 10 / 5 = 2 ==>
q = 63.40
L’étude
des circuits parallèles est extrêmement semblable à celle des circuits séries.
Dans le circuit ci-dessus, R et L sont en parallèle et sont soumises à la même
tension (v).
vR
vL
v = R iR = XL.iL
==> iR
= ---------
et iL =
---------
R
XL
(1 / Z)2 = (1
/ R)2 + (1 / XL)2
XL = 2 p
F L = 2 p
x 1 x
103 x
1.59 x 10-3
= 10 W
(1 / Z)2 = (1 / 20)2
+ (1 / 10)2 = 12.5 x
10-3 ==> (1 / Z) = 112 x
10-3 ==> Z = 8.94 W
IT
= 10 / 8.94 = 1.12 A
IR
= 10 / 20 = 0.5 A
IL = 10 / 10 = 1 A
1
------
XL R
20
Tan
q = ---------- = -------- = -------- = 2 ==> q
= 630
1
XL
10
-------
R
v
= 14.1 sin wt
i
= 1.58 sin (wt
– 630)
Exercice : soit le circuit suivant :
a/ Calculer l’impédance
totale du circuit
b/ Calculer la tension E et
les courants IR
et IL
c/ Déterminer les expressions
sinusoïdales du courant et de la tension sachant que la fréquence est de 60
Hz
(1/Z)2 = (1/R)2 + (1/XL)2
= 0.29
(1/Z) = 0.539
===> Z = 1.86 W
E = Z x I =
1.86 x 2 = 3.72 volts
IR
= V / R = 3.72 / 2 = 1.86 A
IL = V / XL = 3.72 / 5 = 0.74 A
Tan
q = R / XL = 0.4
===> q
= 220
e = Em sin wt = 3.72 sin 377t
i = Im sin (wt – 220)
= 2.83 sin (377t – 220)
Dans
ce circuit, R et C sont en parallèle et sont soumis à la même tension v.
v
v
v
= R iR = XC.iC
==> iR
= ---------
et iC = -------
R
XC
(1/Z)2 = (1/R)2 + (1/XC)2
= 0.0126
(1/Z) = 0.112
===> Z = 8.9 W
IT
= V / Z = 10 / 8.9 = 1.12 A
IR
= V / R = 10 / 20 = 0.5 A
IC
= V / XC
= 10 / 9.95 = 1 A
Vérification : I2
= IR2
+ IC2
(1.12)2 = (0.5)2
+ (1)2
1.25 =
1.25
Déphasage entre I et V :
Tan q = R / XC = 2.01
===> q
= 63.50
Expressions de v et i :
v = Vm sin wt = 14.1 sin 6283t
i = Im sin (wt – 63.50)
= 1.58 sin (6283t – 63.50)
Exercice : soit le circuit
suivant :
a/ Calculer l’impédance
totale du circuit
b/ Calculer la tension E et
les courants IR
et IC
c/ Déterminer les
expressions sinusoïdales du courant et de la tension sachant que la fréquence
est de 60 Hz
(1/Z)2 = (1/R)2 + (1/XC)2
= 0.08
(1/Z) = 0.283 ==> Z =
3.53 W
E = Z x I =
3.53 x 1.5 = 5.3 volts
IR
= V / R = 5.3 / 5 = 1.06 A
IC
= V / XC
= 5.3 / 5 = 1.06 A
Tan
q
= R / XC = 1
==> q
= 450
e = Em sin wt = 7.5 sin 377t
i = Im sin (wt + 450)
= 2.12 sin (377t + 450)
R, L et C sont en parallèle
et sont soumis à la même tension v
v
v
v
v
= R iR = XC.iC = XL iL
===> iR
= ---------
iC = -------
et
iL = ------
R
XC
XL
XL = 2 p
F L = 2 x p x 1000 x 1 x 10-3
= 6.28 W
1
1
XC = --------- =
----------------------------- = 7.96 W
2 p F C
2 x
p
1000 x 20 x 10-6
(1/Z)2 = (1/R)2 + (1/XL
– 1/XC)2
(1/Z)2 = (1/20)2
+ (1/6.28 – 1/7.96)2 = 0.0025 +0.00113 = 0.00363
==> (1/Z) = 0.06
==>
Z = 16.6 W
I
= V/Z = 10/16.6 = 0.6 A
IR
= V/R = 10/20 = 0.5 A
IL = V/XL = 10/6.28 = 1.59 A
IC = V/XC = 10/7.96 = 1.26 A
Vérification :
I2 = IR2
+ (IL – IC)2
(0.6)2 = (0.5)2
+(1.59 – 1.26)2
0.36 = 0.25 +0.1089 = 0.36
Déphasage entre I et V :
1
1
------ - --------
XL XC
0.0336
Tan
q = -------------------- =
------------ = 0.672
==> q
= 33.90
1
0.05
-------
R
Expressions de v et i :
v
= 14.1 sin wt
i
= 0.85 sin (wt – 33.90)
Exercice : soit le circuit suivant :
a/ Calculer l’impédance
totale du circuit
b/ Calculer la tension E, les
courants IR, IL
et IC
c/ Déterminer les expressions
sinusoïdales du courant et de la tension sachant que la fréquence est de 400
Hz
-----------------------
a/ (1/Z)2 = (1/R)2 + (1/XL
– 1/XC)2
(1/Z)2 = (0.5)2
+(0.2 – 0.1)2 = 0.25 + 0.01 ==> (1/Z) =
0.5099
==> Z
= 1.96 W
b/ E = Z I =
1.96 x 3 = 5.88 volts
IR = V/R =
5.88/2 = 2.94 A
IL
= V/XL = 5.88/5
= 1.176 A
IC = V/XC = 5.88/10 =
0.588 A
c/ Tan
q = 0.2
==> q = 11.30
v =
14.1 sin wt
i =
4.24 sin (wt
– 11.30)
La résonance parallèle se
produit lorsque XL
= XC pour une
fréquence FO.
Comme XL = XC, alors IC = IL à la résonance
À la résonance I est en phase avec V.
Ce
type de circuit est utilisé comme impédance de charge dans le circuit de
sortie des amplificateurs RF.
ZOUT
ampli =
ZIN du circuit RLC,
d’où un transfert
maximum de puissance
Le facteur de qualité Q dans un
circuit résonant parallèle est :
IL
V/XL
V
R
R
Q
= ------ = --------------= ----- x ------ = -------
I
V/R
XL
V XL
Q est aussi appelé facteur de
surintensité (si Q>1 alors IL>IT)
Exercice : soit le circuit suivant :
a/ Calculer la fréquence de résonance.
b/ Calculer XL
et XC à la résonance.
c/ Tracer le diagramme de
Fresnel.
d/ Calculer l’impédance
totale du circuit.
e/ Calculer I, IR,
IL et IC
g/ Déterminer le facteur de
qualité et la bande passante.
------------------------
a/
FO = 19.94 Khz
b/ XL = XC = 10W
c/
IR
= I, Z = R
d/ Z = R = 100 W
e/
I = 0.1 A, IR
= 0.1 A, IL
= 1 A, IC
= 1 A
f/ Q = 10, B = 1994 Hz
CHAPITRE
4 : LE TRANSFORMATEUR
1. Principe
Le transformateur est un dispositif qui permet de
transformer (modifier) la valeur d’une tension ou d’un courant alternatif
donné à un niveau plus élevé ou plus bas. Les transformateurs sont
largement utilisés dans le réseau de distribution électrique
et dans de nombreux circuits électriques et électroniques.
Le transformateur élémentaire est le plus simple qui
soit. Sa construction nécessite deux bobines
enroulées séparément autour d’un noyau
magnétique en fer. L’une des bobines est appelée primaire et l’autre,
secondaire
Le primaire, appelé parfois enroulement primaire, est
la bobine alimentée par la source d’alimentation à courant alternatif,
tandis que le secondaire ou enroulement secondaire est la bobine raccordée à
la charge.
La représentation symbolique est la suivante :
Le
fonctionnement d’un transformateur est basé sur le phénomène de l’induction mutuelle. Ce phénomène
s’explique comme suit : lorsqu’une tension alternative est appliquée
à l’enroulement primaire d’un transformateur, un courant
y circule.
Cela crée un flux magnétique à l’intérieur de cet
enroulement. Ce flux magnétique sera acheminé vers l’enroulement
secondaire grâce au noyau magnétique en fer du transformateur.
Comme le courant qui circule dans le primaire
varie continuellement en
fonction de la tension
alternative appliquée, le flux magnétique créé par ce courant variera également.
L’enroulement secondaire se trouve alors dans un champ magnétique variable,
et de cette façon, une tension est induite dans l’enroulement secondaire.
2. Rapport de transformation
Il existe trois types de transformateurs :
abaisseurs, élévateurs et
isolateurs. L’appellation choisie dépend
du rapport de transformation
de chacun des transformateurs.
Le rapport de transformation, symbolisé par
la lettre (a), se défini comme le nombre de spires (tours de fil) de
l’enroulement primaire divisé par le nombre de spires de l’enroulement
secondaire.
Np
a = -------
Ns
Où :
a : rapport de transformation
Np : nombre de spires du primaire
Ns : nombre de spires du secondaire
Ce rapport détermine ainsi le rapport entre la tension
appliquée au primaire du transformateur et celle induite dans le secondaire.
Vp
a = -------
Vs
Où :
a : rapport de transformation
Vp : tension appliquée au primaire
Vs : tension appliquée au secondaire
Ainsi :
Vp
Np
a = ------- = -------
Vs
Ns
Si a > 1, le transformateur est dit abaisseur car Vs
< Vp
Si a < 1, le transformateur est dit élévateur car
Vs > Vp
Si a = 1, le transformateur est dit isolateur Vs = Vp
Dans la pratique, il est très
rare, voire impossible, de connaître le nombre de tours de chacun des
enroulements d'un transformateur. Cependant, on retrouve souvent sur la plaque
signalétique des transformateurs l'indication de la tension nominale du
primaire, celle du secondaire et la puissance admissible.
La tension nominale d'un
transformateur est une valeur optimale de la tension appliquée à un
enroulement du primaire du transformateur et nécessaire à son bon
fonctionnement. En général, la tension appliquée à un transformateur peut
être plus ou moins grande que sa tension nominale. Cependant, elle ne doit
pas excéder 110 % de la tension nominale, puisque le transformateur devient
alors en saturation. Par ailleurs, le courant qui circule dans l'enroulement dégage
de la chaleur, qui doit être limitée pour ne pas endommager l'enroulement
ainsi que la structure du transformateur. C'est pourquoi on attribue à chaque
transformateur une valeur de puissance admissible. Cette attribution a pour
but de limiter à la fois la tension appliquée et le courant débité pour
chacun des enroulements d'un transformateur.
La puissance admissible d'un transformateur est exprimée
en voltampères (VA) et déterminée par le produit de la tension nominale et
du courant nominal d'un enroulement comme le montre la formule suivante :
Pp = Vp x Ip, Ps = Vs x Is
Où :
P: puissance admissible (VA)
Vp: tension nominale de
l’enroulement primaire (V)
Ip: courant nominal de
l’enroulement du primaire (A)
Vs : tension nominale de
l’enroulement secondaire (V)
Is : Courant nominal de
l’enroulement secondaire (A)
Dans les conditions normales
d'opération, il faut respecter toutes les valeurs nominales d'un
transformateur, c'est-à-dire ne pas dépasser la puissance admissible, la
tension nominale et le courant nominal.
Exercice 1:
La plaque signalétique d'un
transformateur abaisseur indique les données suivantes :
P= 200 VA, 120/30V
1. Calculer
le courant nominal du primaire et du secondaire.
2.
Calculer, en voltampères (VA), la puissance d'opération de ce
transformateur, si une
charge résistive
de 100 W
est raccordée au secondaire.
Exercice 2 : soit le transformateur suivant
Calculez
le nombre de spires du secondaire (Ns)
Idéalement il ne doit pas y
avoir de perte de puissance dans un transformateur, cela veut dire que la
puissance débitée au secondaire et fournie à la charge est égale à la
puissance qui alimente le primaire du transformateur. Toutefois, dans la
pratique, il y a des pertes de puissance.
Voici deux facteurs importants de perte de puissance :
Facteur 1 :
Les enroulements primaires et
secondaires formés par des fils conducteurs, produisent une perte de
puissance sous forme de chaleur provenant des résistances des fils.
Facteur 2 :
Certaines lignes de force du
flux magnétique sortent du noyau plutôt que de circuler normalement dans ce
dernier. Ces lignes se propagent dans l’air, causant un phénomène appelé
fuite magnétique, d’où la perte de puissance.
Ces principales pertes et
d'autres encore font en sorte que la puissance fournie à la charge par
l'enroulement secondaire est toujours inférieure à celle qui alimente le
primaire. Par conséquent, il sera possible de voir comme spécification le
rendement du transformateur exprimé en %.
Puissance fournie à la charge
%
rendement = -------------------------------------------- x 100
Puissance fournie au transformateur
Exercice 3 : Sachant qu’un transformateur
est alimenté par une puissance de 120 VA et fournit seulement une puissance
de 102 VA à la charge, calculez son rendement
-----------------------
Exercice 4 : Lorsqu’une tension de 600 volts
est appliquée au primaire d’un transformateur, une tension de 1200 volts
est induite dans le secondaire.
a)
Calculez le rapport de transformation de ce transformateur
b)
Déterminez le nombre de tours de l’enroulement secondaire, si le
nombre de tours de l’enroulement primaire est de 800.
Exercice 5 : Déterminez le rendement d’un
transformateur pour lequel les lectures suivantes ont été obtenues :
Ip =
2A
Is = 8.2A Vp = 120V
Vs = 24V
Un transformateur peut être utilisé pour adapter des
impédances.
Np
Vp
Ns Ip
------- = ------ (1)
------- = -------- (2)
Ns
Vs
Np
Is
Si on divise l’équation
(1)
par l’équation (2),
on obtient :
Np
Vp
------
-------
Ns
Vs
Np
Np
Vp
Is
-----------
= ---------- ===> ------
x ------ = ------ x -----
Ns
Ip
Ns
Ns
Ip
Vs
------ ------
Np
Is
Zp
===> a2
= -------
===>
Zp = a2 Zs
Zs
Exercice 6 : soit le montage suivant
:
a)
Calculez la grandeur du courant primaire ainsi que la tension Vp
appliquée aux bornes du primaire
b)
Calculez la résistance d’entrée du transformateur
Exercice 7 : La résistance de sortie d’un
amplificateur est de 576 W. On veut
qu’il fournisse le maximum de puissance à un haut parleur de 16 W.
On utilise un transformateur pour raccorder le circuit au haut-parleur.
Calculez le rapport de transformation (a) ainsi que le nombre de spires du
primaire si le secondaire possède 40 spires.
5.
Types
de transformateurs
5.1
Transformateur à prise médiane (center tap ou CT)
Le transformateur à prise médiane est en fait un
transformateur double. Dans cette
figure le point B est la prise médiane, elle est commune aux deux sorties. Il
y a une tension entre le point A et B et une autre entre le point B et C.
Comme le bobinage est
fait dans le même sens, les tensions des deux sorties sont déphasées de 180
degrés.
Il est possible dans ce type de
transformateur de ne pas utiliser la prise médiane. Dans ce cas la tension de
sortie sera égale à la somme des tensions des deux sorties.
Exercice 8 : Calculer Vout 1, Vout 2
et Vout 3.
5.2 Transformateur à
plusieurs secondaires
Il est possible d’obtenir plusieurs tensions au
secondaire en utilisant un transformateur à secondaires multiples. Ce
transformateur est constitué d’un enroulement au primaire et de plusieurs
enroulements au secondaire. Chaque secondaire peut fournir une tension différente
selon le nombre de spires dont il est constitué.
Le transformateur à prise médiane est le type le plus
courant dans la catégorie des transformateurs à plusieurs secondaires.
5.3 Transformateur à sortie variable
(Variac)
La
prise médiane est ici mobile. La tension au secondaire peut varier de 0 volt
à 150 volts ou plus.
CHAPITRE
5 : LES FILTRES PASSIFS
Dans une « colonne
de son », on retrouve généralement trois haut-parleurs. Le signal électrique
qui sort de l’amplificateur pour reproduire le son contient un mélange des
basses, moyennes et hautes fréquences.
Chacun des trois
haut-parleurs devrait recevoir seulement le type de fréquence pour lequel
il est construit.
Ø
Le « Woofer », grande surface, grande inertie :
basses fréquences.
Ø
Le « Mid-range », surface moyenne : fréquences
moyennes.
Ø
Le « Tweeter », petite surface, faible inertie :
hautes fréquences.
La vibration du haut-parleur produit une vague
d’air perçue par l’oreille comme un son de tonalité plus élevée à
mesure que les vagues sont plus rapprochées.
Pour éviter qu’un haut-parleur reçoive des fréquences
pour lesquelles il n’est pas conçu, il faudrait séparer les différentes
fréquences qui se présentent à la sortie de l’amplificateur avant de
les relayer aux haut-parleurs. Pour cela, on doit employer un (ou des)
composant(s) qui ont une impédance qui varie en fonction de la fréquence ;
par exemple pour bloquer les basses fréquences qui se dirigent vers le
« tweeter ».
Le condensateur et la bobine
offrent cette caractéristique :
1
XL
= 2 p F L
XC
= -----------
2 p F C
Voyons les différentes valeurs que prend la réactance
d’un condensateur de 20 mF en
fonction de la fréquence du signal qui lui est appliqué
|
F
(Hz)
|
XC
(W)
|
|
10
|
795
|
|
100
|
79.5
|
|
1K
|
7.96
|
|
10K
|
0.8
|
Exemple : Avec une
tension de 10 volts à la source et
une résistance de 8 W
en série avec
le condensateur, les tensions qui sont mesurées dans le circuit sont les
suivantes :
|
F
(Hz)
|
VC
(V)
|
VR
(V)
|
|
10
|
10
|
0.1
|
|
100
|
9.95
|
1
|
|
1K
|
8.92
|
7.09
|
|
10K
|
0.8
|
9.95
|
Les valeurs des tensions
mesurées montrent deux choses différentes :
Ø
Si on branche un haut-parleur en parallèle avec la résistance,
on voit que la tension à ses bornes augmente avec la fréquence, ce qui
permet de couper les fréquences basses et de garder les fréquences hautes :
c’est ce qu’on appelle un filtre passe-haut.
Ø
Si on se branche en parallèle avec le condensateur, la tension
diminue avec l’augmentation de la fréquence : c’est un filtre qui
garde les basses fréquences, donc un filtre passe-bas.
La fréquence de coupure
correspond à la fréquence qui offre une puissance égale à la moitié de la
puissance totale à l’entrée. Cette puissance de 50 % correspond à 70.7 %
de la tension d’entrée. Ce cas se présente lorsque :
XC = R
1
1
Fréquence
de coupure = ------------ = -------------------- = 995 Hz
2 p
R C
2 p x 8 x 20
mF
3. FILTRE
« RL »
On peut obtenir un
comportement semblable avec un filtre « RL ». XL augmente avec la fréquence.
Dans plusieurs circuits électroniques,
il est parfois nécessaire de ne laisser passer que certains signaux à
des fréquences bien précises et d’en éliminer les autres. Une des
applications du circuit « RLC série »
à la résonance est un filtre passe-bande. La résonance s’obtient
lorsque XL = XC
(voir notes de cours « circuits à courant alternatif »)
Lors de la résonance d'un
circuit « RLC série », le courant du circuit ainsi que la chute
de tension aux bornes de chacun des composants, VR, VL
et Vc, sont à leur maximum. Ils diminueront au fur et à mesure que la fréquence
du circuit s'éloignera de cette valeur.
La figure suivante montre la
représentation de la tension aux bornes de la résistance en fonction de la
fréquence.
Filtre
Passe-bande
Ce circuit peut être utilisé
comme un filtre passe-bande, dans lequel la bande passante est limitée par
les fréquences où la tension tombe à 70,7 % de sa
valeur maximale.
5. FILTRE
ÉLIMINATEUR DE BANDE
Une des applications du
circuit résonant parallèle (la résonance est obtenue lorsque XL = XC) est le filtre éliminateur de bande montré
à la figure suivante :
Filtre éliminateur
de bande
La fonction de ce type de
filtre est d'éliminer les signaux à la fréquence de résonance. En effet,
à cette fréquence, l'impédance équivalente du circuit composé de L et C est à son maximum,
de sorte que le maximum de tension se retrouve aux bornes de l’ensemble
« L et C ». La tension aux bornes de R est alors minimale.
Lorsque la fréquence du circuit s'éloigne de sa
valeur de résonance, l'impédance équivalente du circuit composé de L et C
diminue, ce qui a pour effet d’augmenter la tension aux bornes de la résistance.
La largeur de bande (LB) de ce
filtre éliminateur de bande est limitée par les fréquences où la tension
tombe à 70,7 % de sa valeur maximale.
Un filtre passe-haut est un
circuit qui va favoriser le passage des hautes fréquences plutôt que les
basses fréquences (voir filtres « RC » et « RL » précédents).
Un filtre passe-bas
est un circuit qui favorise le passage des basses fréquences plutôt que
celui des hautes fréquences (voir filtres « RC » et « RL »
précédents).
Exercice :
Considérer le circuit RL
suivant :
a) Calculer pour chacune
des fréquences du tableau ci-dessus, les valeurs de XL, ZT, IT,
VL et VR.
|
F (Hz)
|
XL (W)
|
ZT
|
IT
|
VL
|
VR
|
|
100
|
|
|
|
|
|
|
1K
|
|
|
|
|
|
|
6K
|
|
|
|
|
|
|
10K
|
|
|
|
|
|
b) Calculer la fréquence
de coupure de ce circuit :
c) Compléter les deux graphiques en utilisant les
valeurs du tableau précédent.
Filtre :
_______________________ Filtre :
_____________________
