• Chapitre 1-Production d'une onde sinusoïdale

• Chapitre 2-Le courant alternatif et les termes qui lui sont associés

• Chapitre 3-Les circuits à courant alternatif

• Chapitre 4-Le transformateur

• Chapitre 5-Les filtres passifs

CHAPITRE 1 : PRODUCTION D'UNE ONDE SINUSOÏDALE

• Introduction
• Champ magnétique
• L'alternateur

1. Introduction :

Vous savez sans doute que l’électricité est une forme d’énergie d’une grande utilité pour toutes les activités humaines. Cette énergie se présente sous deux formes distinctes, à savoir le courant continu et le courant alternatif. Historiquement, le courant continu fut le premier à voir le jour. Par la suite est apparu le courant alternatif qui, par son faible coût de production et de transport ainsi que sa facilité de distribution, s’est taillé une place importante dans l’utilisation courante de l’électricité. Les moteurs, les transformateurs, les ordinateurs, le téléphone et la télévision font tous appel à l’électromagnétisme, c’est à dire à des effets magnétiques induits par un déplacement de charges (courant). Dans de nombreux ordinateurs, le stockage de données se fait sur un support magnétique : soit des bandes, soit des disques, soit des bulles.

Dans la région autour d’un aimant permanent, il existe un champ magnétique qu’on peut représenter au moyen de lignes de force magnétique.

La force du champ magnétique d’une région quelconque dépend directement du nombre de lignes de force (appelé flux magnétique) par aire unitaire. Les lignes de force vont du pôle nord au pôle sud à l’extérieur de l’aimant.

Les pôles opposés de deux aimants permanents s’attirent alors que les pôles identiques se repoussent.

Un champ magnétique est également présent autour de tout fil porteur d’un courant électrique

Pour déterminer le sens des lignes de force magnétique, on saisit le conducteur de la main droite, en plaçant le pouce dans le sens du courant conventionnel ; les doigts de la main pointent alors dans le sens des lignes de force. 

Si on fait une boucle ou spire avec le conducteur, on renforce le champ magnétique comme le montre la figure suivante.

Une bobine constituée de plusieurs spires produit un champ magnétique continu semblable à celui que produit un barreau aimanté.

La bobine a un champ plus faible que le barreau aimanté. On peut augmenter l’intensité du champ magnétique d’une bobine en plaçant au centre de ses spires un noyau constitué d’un matériau magnétique (fer, acier, cobalt) car le flux magnétique passe plus facilement dans un tel matériau que dans l’air. Toutes les lignes de force  tendent à passer par le noyau, ce qui augmente leur densité et, par conséquent, l’intensité du champ. Une bobine dotée d’un noyau magnétique est appelée électro-aimant.

Règle donnant le sens de la force magnétique s’exerçant sur un conducteur parcouru par un courant : étendez les doigts de votre main droite dans le sens du champ magnétique et tournez votre main de façon que votre pouce s’oriente dans le sens du courant (sens conventionnel). La force magnétique se dirige alors hors de votre paume.

Lorsqu’un courant I circule dans un enroulement rectangulaire, les forces magnétiques, tendent à faire tourner l’enroulement. (F = B x I x l)

Inversement si on déplace un cadre formé par un conducteur à travers un champ magnétique, un courant est induit dans le cadre.

À mesure qu’une force extérieure tire le cadre à travers le champ magnétique, un courant est induit dans le cadre.

C’est un appareil qui produit un courant électrique alternatif de forme sinusoïdale. Il est basé sur le principe de l’induction électromagnétique et résulte d’une des applications du champ magnétique.

Alternateur élémentaire : Lorsqu’un conducteur est en  mouvement dans un champ magnétique, une tension est induite dans ce conducteur. Ce phénomène est appelé induction électromagnétique. Il est important de savoir que le fonctionnement de  tout alternateur repose sur le principe d’induction électromagnétique.

Pour faire tourner la bobine, on se sert d’une force extérieure ou énergie mécanique produite par un moteur.

Dans le cas de la production d’énergie électrique, on fera tourner les génératrices et les alternateurs avec : 

Ø          L'eau des rivières lorsque le débit est fort comme « Beauharnois »

Ø          L’eau d’un barrage pour renforcer le débit « La Manic, La Grande 2 »

Ø          Les éoliennes (le vent) comme à « Kuujjuaq »

Ø          De la vapeur d'eau comme à la centrale thermique de type nucléaire « Gentilly 2 »

Ø          De la chaleur engendrée par la combustion du mazout (thermique) comme « Tracy »

Il existe d'autres moyens, mais disons que ce sont les principaux utilisés par Hydro-Québec. On peut trouver des génératrices de différents gabarits, pensez aux génératrices portatives de dépannage, aux plus grosses dans les aéroports, dans les systèmes d'urgence des hôpitaux ou bien celles utilisées dans les locomotives. Bref peu importe leur grandeur, leur puissance, le principe est toujours le même. La génératrice transforme l'énergie mécanique en énergie électrique. Un moteur fait le contraire, il transforme l'énergie électrique en énergie mécanique. Les composants principaux d'un moteur et ceux d'une génératrice sont les mêmes.

Dans un alternateur, la bobine tourne à une vitesse constante formant ainsi un mouvement périodique. Comme le mouvement de la bobine est périodique, la tension induite le sera également.

Cependant, la valeur de la tension induite n’est pas constante, puisqu’elle est définie en fonction du sinus de l’angle formé par le déplacement de la bobine et les lignes de force du champ magnétique. À l’instant où le déplacement de la bobine est perpendiculaire aux lignes de force, la tension induite dans la bobine est maximale. Par contre, lorsque le déplacement de la bobine est parallèle aux lignes de force, la tension induite est nulle.  

Quant à la polarité de la tension induite, elle change à chaque demi-rotation de la bobine. Un demi-tour de la bobine induit une tension positive, appelée alternance positive, tandis que l’autre demi-tour, soit de 180^o à 360^o, induit une tension négative nommée alternance négative.

Une source à courant alternatif peut être vue comme une source à courant continu (pile) dont on varierait la tension de façon continuelle, en variant de plus en plus la polarité de la tension de sortie, à des intervalles réguliers.

On pourrait donc obtenir des tensions comme celles identifiées (1) et (2). La forme de la tension disponible dans les prises de courant résidentielles a cependant une forme qui suit la fonction trigonométrique sinus. On parle alors de tension sinusoïdale.

La fonction sinusoïdale est celle qui représente la grandeur verticale d’un vecteur qui tourne autour de son origine ; en tournant, sa pointe se trouve à une hauteur verticale qui va varier dans le temps. Quand nous enregistrons sur un système d’axes les hauteurs en fonction des degrés de rotation effectués, nous obtenons la représentation suivante :

L’abscisse est ici graduée en degrés. Elle peut être graduée en radians (autre unité d’angle) ou en temps.

2. Rappels de trigonométrie :

• Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit, c’est à dire un angle qui mesure 90^{o ;}
• La somme des angles aigus d’un triangle rectangle est toujours 90^o. on dit que ces angles sont complémentaires ;
• La trigonométrie est l’étude des rapports entre les côtés et les angles des triangles ;
• Le côté le plus long d’un triangle rectangle s’appelle hypoténuse. (c’est aussi le côté qui est opposé à l’angle de 90^o) ;
• Le côté qui ne touche pas au sommet A s’appelle côté opposé à l’angle A ;
• Le côté qui reste s’appelle côté adjacent à l’angle A.

Les fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente sont des rapports des mesures de deux côtés du triangle. Simplifions-nous la tâche en utilisant les abréviations : 

• Sin pour sinus
• Cos pour cosinus
• Tan pour tangente

Théorème de Pythagore  (pour trouver un côté d’un triangle connaissant les deux autres) : dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. 

(Hypoténuse)²  =          (Base)² +          (Hauteur)² 

c²                     =               a²                +                  b²

3. Détermination de la polarité d’une tension et du sens du courant :

Dans chaque cas, la polarité de la tension et le sens du courant correspondent, à un instant donné, à l’alternance positive de la sinusoïde. Les symboles littéraux sont des minuscules, on indique ainsi que chaque grandeur varie dans le temps. Le terme sinusoïdal sera fréquemment sous-entendu.

4. Définitions :

Définissons quelques termes fondamentaux à l’aide de la forme d’onde sinusoïdale suivante :

Forme d’onde : représentation graphique d’une grandeur en fonction d’une certaine variable, comme le temps, la valeur en degrés, la valeur en radians, la température etc.

Valeur instantanée : valeur d’une forme d’onde à un instant particulier. Elle est représentée par une lettre minuscule (e₁, e₂, ..).

Amplitude ou valeur de crête : valeur maximale que prend une forme d’onde. Elle est représentée par une lettre majuscule : Em, Vm, Ec, Vc, Ep, Vp (m=max, c=crête et p=peak).

Forme d’onde périodique : forme d’onde qui se reproduit en un certain intervalle de temps.

Période (T) : intervalle de temps sur lequel une forme d’onde périodique se reproduit. La période se mesure entre deux points identiques de la forme d’onde. T = T1 = T2 = T3 (voir figure 1).

Cycle : portion d’une forme d’onde contenue en une période (voir portions T1, T2 et T3 de la figure 1).

Fréquence (f) : nombre de cycles qui se reproduisent dans un intervalle de temps de une seconde.

. Figure (a) : 1 cycle par seconde, la fréquence est donc de 1 Hz.

. Figure (b) : 2 cycles dans une seconde, la fréquence est de 2 Hz, la période de 0.5 s.

La fréquence est donc inversement liée à la période c’est à dire qu’en augmentant la période on diminue la fréquence et vice versa.

             1                                1 

F = ---------     ou     T = ------------

            T                                F

F = hertz (Hz)

T = seconde (s)

Exercice 1: calculer la période d’une forme d’onde périodique d’une fréquence de :

a) 60 Hz

b) 1000 Hz

-----------------------------------------------------------------------------

a) T = 1 / 60 = 16.67 ms

b) T = 1 / 1000 = 1 ms

Exercice 2 : Déterminer la fréquence de la forme d’onde suivante :

T = 10 ms =========> F = 1 / T = 1 / 10 ms = 1 / 0.01 = 100 Hz

5. Onde sinusoïdale :

L’unité qui gradue l’axe horizontal est le degré ou la seconde. Une autre unité fréquemment utilisée est le radian (rad).

    5.1 Définition du radian :  Un radian est la mesure de l’angle au centre qui intercepte sur le cercle un arc dont la longueur égale celle du rayon.

Le radian est l’angle au centre qui sous-tend un arc de longueur r. Comme la circonférence du cercle est :

C = 2 p r soit 6.28 fois le rayon. Alors :

    2 p  r

Un cercle compte = ------------------- = 2 p  radians

        r

2 p radians = 360 ^o

p  radians = 180 ^o

        5.2 Conversion d’une unité à l’autre :

Exemples :

30 ^o =======> Radians = p  / (180 / 30) = (p / 6) rad

90 ^o =======> Radians = p  / (180 / 90) = (p / 2) rad

p / 3 =======> Degrés = (180 / p) x (p / 3) = 60 ^o

3p / 2 =======> Degrés = (180 / p) x (3p / 2) = 270 ^o

5.3 L’oscilloscope

5.3.1. Principe :  les oscilloscopes servent à afficher sur un écran des signaux en fonction du temps. L’écran appelé graticule est gradué en 80 carrés de 1 cm de côté : soit 10 horizontalement et 8 verticalement.

Une façon simple de commencer consiste à effectuer les opérations suivantes :

• Mettre tous les boutons rotatifs à la position « 12 heures »
• Libérer tous les boutons poussoirs à l’exception de « auto »
• Connecter la voie A ou CH1 à la sortie « cal » par l’intermédiaire d’une sonde placée sur X10. On obtiendra alors une trace sur le graticule (signal carré).

Les boutons des ajustements initiaux sont :

• INTENS, qui commande la luminosité de la trace.
• FOCUS, qui permet de régler la netteté de la trace.
• TRACE DE ROTATION, qui aligne la ligne de base du signal sur la ligne horizontale du graticule. Ce réglage peut être nécessaire lorsqu’on change de lieu, compte tenu de l’influence du magnétisme terrestre.
• ILLUM, qui règle l’éclairement du graticule. Il est utilisé lorsqu’on fait des photographies des signaux.

5.3.2. L’axe des Y

La tension du signal d’entrée est représentée sur l’axe vertical (Y) qui est étalonné pour permettre la mesure de l’amplitude. La commande AMPL/DIV sélectionne l’échelle de l’axe des Y, permettant de visualiser des tensions allant de 2 mV/DIV à 10 V/DIV (Philips) ou de 5 mV/DIV à 10 V/DIV (Leader)

Exemple :  dans la position 0.1 V, chaque division (carré = 1 cm) représente une amplitude de 0.1 V à l’entrée. Un signal de 300 mV = Vmax occuperait 6 divisions ou 6 carrés du minimum au maximum.

En tournant le bouton dans le sens des aiguilles d’une montre, on augmente la sensibilité ; en le tournant dans le sens inverse, on la diminue.

Le potentiomètre au centre du bouton doit être fermé (position calibrée)

Il existe trois modes de couplage du signal d’entrée :

a)      Mode AC, qui bloque la composante DC du signal. Il est souvent utilisé pour visualiser un signal de faible amplitude superposé à un niveau DC élevé.

b)      Mode DC, qui laisse passer aussi bien la composante continue que la composante alternative du signal.

c)      GND ou « 0 », qui déconnecte le signal de l’amplificateur d’entrée, ce qui permet de placer la ligne de base à toute hauteur sur l’écran, pour servir de référence aux affichages ultérieurs.

5.3.3. L’axe des X

Le temps est représenté sur l’axe horizontal (X) qui est également étalonné. L’échelle de temps de l’affichage est commandée par le commutateur TIME/DIV.

La commande de la base de temps se positionne par échelons calibrés de 50 ns/div à 0.5 s/div.

Exemple : le bouton TIME/DIV est sur la position 50 ms/div et un cycle du signal visualisé occupe 5 div ou 5 carrés horizontalement. Ceci nous permet de calculer la période du signal :

T = 5 div x 50  ms/div = 250  ms

La fréquence est alors égale à :

          1             1

F =  ---- = ------------ = 4000 Hz = 4 Khz

         T       250  ms

5.3.4. Exercices

Considérez le graticule de votre oscilloscope ci-contre. Les boutons Volt/Div et Time/Div sont placés aux positions suivantes :

Volt/Div = 0.2 V/Div

Time/Div = 20 µs/Div

Déterminez l’amplitude, la période et la fréquence de ce signal : 

 5.4 Vitesse angulaire

Distance     =     vitesse     x     temps

Angle     =     vitesse angulaire     x     temps

La vitesse avec laquelle le vecteur rayon tourne autour du centre est appelée vitesse angulaire ou pulsation ; elle est déterminée par la relation :

La vitesse angulaire est désignée par la lettre grecque oméga (w). Nous pouvons alors écrire :

                                a

                    w = --------

                                t

Si on prend comme angle de référence, un tour complet soit 2p radians alors :

                                2p

                    w = -------- rad/s

                                 T

Comme T = 1/ F         alors         w = 2pF

Exercice 1: déterminer la pulsation d’une onde sinusoïdale dont la fréquence est 60 Hz.

------------

w = 2pf = (6.28)(60) = 377 rad / s

Exercice 2 : déterminer la fréquence et la période de l’onde sinusoïdale suivante :

-------------------

w = 2pf ==> f = w / 2p = 500 / 6.28 = 79.62 Hz

T = 1 / f = 12.56 ms

6. Forme générale de la sinusoïde :

La forme mathématique de la tension sinusoïdale est : E_m sin a (1), dans laquelle E_m est la valeur crête de la forme d’onde et a est l’unité de graduation de l’axe horizontal.

Notons que w (rad/s) = 2p / T = a / T

Par conséquent a = w t (2)

L’équation (2) permet d’écrire la forme générale de la sinusoïde de la façon suivante :

E_m sin wt

Dans laquelle wt est l’unité de graduation de l’axe horizontal. Dans le cas des grandeurs électriques, la forme générale est donc :

e = E_m sin wt = E_m sin a

i = I_m sin wt = I_m sin a

Où E_m et I_m représentent l’amplitude de la forme d’onde et les minuscules i et e les valeurs instantanées de la forme d’onde à l’instant t. Il est aussi possible de tracer une sinusoïde en fonction du temps. À chaque valeur que prend la sinusoïde à un angle donné, on peut faire correspondre un temps précis, déterminé à partir de la pulsation de la forme d’onde.

7. Relation de phase :

Jusqu’ici, nous n’avons vu que des ondes sinusoïdales passant à zéro, 180^o et 360^o

Si l’onde est décalée à la droite ou à la gauche de 0, son expression mathématique devient :

E_m sin (wt ± q) dans laquelle q est l’angle du décalage.

Si l’onde traverse l’axe horizontal en étant de sens positif (c’est à dire que sa valeur augmente avec le temps) avant le point 0, son expression est :

E_m sin (wt + q), à wt = a = 0, sa valeur est E_m sin q

Si au contraire l’onde traverse l’axe horizontal après le point 0 en étant de sens positif, son expression est :

E_m sin (wt - q), à wt = a = 0, sa valeur est E_m sin(-q)=-E_m sin q

Relations trigonométriques utiles :

Sin (-a) = - Sin a

Cos (-a) = Cos a

Sin (a ± 180^o) = - Sin a

Cos (a ± 180^o) = - Sin a

La représentation du déphasage entre la tension et le courant par des vecteurs tournants s’appelle représentation de Fresnel ou de phase.

On utilise les expressions en avance et en retard pour décrire la relation de phase qui existe entre deux ondes sinusoïdales de même fréquence tracées sur un même graphique.

À la figure ci-dessus, la courbe (2) est en avance d’un angle q sur la courbe (1). La courbe (3) est en retard d’un angle q sur la courbe (1).

Exercice :

Quelle est la relation de phase entre les paires d’ondes suivantes :

a) v = 10 sin (wt + 30^o)

i = 5 sin (wt + 70^o)

b) v = 10 sin (wt - 20^o)

i = 15 sin (wt + 60^o)

c) v = 2 sin (wt + 10^o)

i = - sin (wt + 30^o)

--------------------------------------------------------------------------------------

a) i est en avance de 40^o sur v

b) i est en avance de 80^o sur v (ou v est en retard de 80^o sur i)

c) v est en avance de 160^o sur i

8. Valeur efficace :

Lorsque S1 est fermé, un courant I déterminé par la valeur de R et la valeur de la tension E passe à travers la résistance. La température à laquelle parvient l’eau dépend de la puissance continue que dissipe la résistance sous forme de chaleur.

P = R x I²cc     si   R = 10 W et  E = 120V

alors I = 12 A    et   P = 1.44 KW

Lorsque S2 est fermé et que S1 est ouvert, c’est un courant alternatif de valeur de crête Im qui traverse la résistance. La température à laquelle parvient l’eau dépend maintenant de la puissance alternative que dissipe la résistance sous forme de chaleur.

Faisons varier l’intensité de crête du courant alternatif pour que l’eau atteigne la température mesurée dans la première partie de l’expérience soit 93^oC dans un même laps de temps. Lorsque cette condition est réalisée, la puissance fournie à la résistance R par la source alternative est la même que celle que débitait la source continue (Pcc = Pca).

Im mesuré vaut alors 17 A

Pca = R x (i_ca)² = R x (Im sin wt)² = R x I²m sin²wt, comme sin²wt = (1 - cos 2wt) / 2 alors :

Pca = R x I²m [(1 - cos 2wt) / 2] = R I²m / 2 (Cos 2wt =0)

Pcc = Pca ====> R I² = R I²m / 2 ====> I² = I²m / 2

En d’autres termes, la valeur continue équivalent à une grandeur sinusoïdale est égale à 0.707 fois sa valeur maximale. Cette valeur continue équivalente est appelée valeur efficace de la grandeur sinusoïdale.

IDC équivalent = Ieff = 0.707 Im

Im = 1.414 Ieff

De la même façon, on peut écrire :

Eeff = 0.707 Em

Em = 1.414 Eeff

La valeur efficace est aussi désignée par le terme RMS qui provient de l’abréviation des mots anglais "Root Mean Square".

Les instruments de mesure à courant alternatif comme le voltmètre et l’ampèremètre ne donnent que la valeur efficace. Seul l’oscilloscope donne la valeur maximale.

Exercice : on branche une résistance de 100 W sur un secteur alternatif de 110 volts, 60 Hz.

1. Quelle est la vitesse angulaire de ce courant alternatif ?

2. Quelle est sa période ?

3. Quelle est la tension maximale ?

4. Quel est le courant maximal qui traverse la résistance ?

5. Quel est le courant efficace à travers cette résistance ?

6. Calculer l’énergie dissipée en chaleur dans un cycle.

7. Écrire les équations qui représentent les variations du courant et de la tension.

--------------------

1.     w = 2 p F = 2 x 3.14 x 60 = 377 rad/s

2.     La période est l’inverse de la fréquence c’est à dire :

        T = 1 / F = 1 / 60 = 16.67 ms

3.     110 volts est une tension efficace de sorte que Vm = 1.414 x Veff = 1.414 x 110 = 155 V

4.     La loi d’ohm en courant alternatif s’applique Im = Vm / R = 155 / 100 = 1.55 A

5.     Courant efficace Ieff = 0.707 x Im = 0.707 x 1.55 = 1.1 A

6.     La puissance dissipée en chaleur est : P = R I²eff = 100 (1.1)² = 121 W

        Pour un cycle, l’énergie dissipée est : W = P x T = 121 x 0.017 = 2.06 Joules

7.     Puisque le circuit est constitué d’une résistance pure, il n y a aucun déphasage entre la tension et le courant (q = 0^o)

        v = 155 sin 377 t

        i = 1.55 sin 377 t