Ecuaciones

El uso de esta herramienta se ilustra en los ejemplos de la recta, funciones trigonométricas, familias de gráficas,  coordenadas polares y la derivada.

La ventana de configuración de ECUACIONES puede tener tantas líneas como el usuario desee. Cada una de ellas define una ecuación y puede tener cualquiera de estos aspectos:

y=A*sen(x):color=rojo
y=a*x^2+2*b*x+c:color=negro:visible=false
x=exp(s*y):color=azul:sucesión=s[0,1]5
a*x^2+2*b*x*y+c*y^2=1:color=negro:editable=true

En general cada línea representa una ecuación en las variables x e y y especifica algunas características de la gráfica o de la ecuación mediante expresiones separadas unas de otras por el símbolo  : . El color de la gráfica se especifica mediante una expresión del tipo color=rojo.

Descartes dibuja las gráficas de todas las ecuaciones que se definen en su configuración (más adelante se explican brevemente los métodos que Descartes utiliza para realizar estos dibujos). Además Descartes exhibe las ecuaciones en unos campos de texto que aparecen debajo de la gráfica. Si se desea que alguna ecuación no se exhiba, hay que escribir visible=false. Esto hace invisible la ecuación, no la gráfica. La gráfica de una ecuación siempre es visible. Si se desea que la expresión de la ecuación pueda ser modificada por el usuario, hay que agregar editable=true.

El applet Descartes distingue tres tipos de ecuaciones: y=f(x), x=g(y) y f(x,y)=g(x,y). Las gráficas correspondientes a estas ecuaciones se dibujan de manera diferente.

Para las ecuaciones del tipo y=f(x) el programa calcula los valores de f(x) para todos los x correspondientes a pixeles del intervalo horizontal visible en la ventana del applet y une los puntos [x,f(x)] consecutivos con segmentos rectos.

Para las ecuaciones del tipo x=g(y) el programa calcula los valores de g(y) para todos los y correspondientes a pixeles del intervalo vertical visible en la ventana del applet y une los puntos [g(y),y] consecutivos con segmentos rectos.

Finalmente las ecuaciones de la forma f(x,y)=g(x,y) se convierten a la forma F(x,y)=0 mediante la definición F(x,y)=f(x,y)-g(x,y). Para encontrar las gráficas de este tipo de ecuaciones, Decartes utiliza una adaptación a dos variables del método de Newton para encontrar los ceros de funciones. Una vez encontrado un punto de la gráfica, Descartes busca los demás puntos de la gráfica siguiendo la curva de nivel en la dirección ortogonal al gradiente de la función. Esto lo hace tomando como puntos iniciales varios puntos de la ventana del applet para encontrar las distintas ramas de la gráfica. Si la gráfica tiene muchas ramas es posible que alguna no se dibuje porque el método no la encuentre. Sin embargo este sistema funciona bien en todos los casos de interés educativo y es bastante rápido.

El siguiente ejemplo muestra tres gráficas, una de cada tipo. Observe que la tercera tiene muchas ramas. Las tres ecuaciones son editables de manera que el usuario puede cambiarlas escribiendo en los campos de texto donde aparecen las ecuaciones.

Autor: José Luis Abreu León