Para construir un fractal autosemejante partimos de un número finito de transformaciones que son semejanzas contractivas.
Una aplicación f : Rn -----> Rn, se llama contractiva si:
donde r Î [0 , 1) se llama razón de contracción.
Toda aplicación contractiva es continua.
Entre dos figuras semejantes y distintas del plano euclídeo, siempre existe una aplicación contractiva que transforma la mayor en la menor. Esta aplicación contractiva es una composición de isometrías (traslaciones, giros y simetrías) y una homotecia contractiva.
La forma general de la aplicación contractiva es:
Para determinar los coeficientes a, b, c, d, e, f, se procede a determinar las imágenes de tres puntos y a resolver el correspondiente sistema de 6 ecuaciones con 6 incógnitas que nos dará sus valores.
Cualquier giro, simetría u homotecia se puede obtener por composición de las siguientes transformaciones elementales:
Traslación de vector (a , b ):
Giro de ángulo q y centro el origen:
Simetría respecto del eje de abscisas:
Homotecia centrada en el origen de razón K:
Llamaremos sistema de funciones iteradas (SFI) en Rn a cualquier familia finita {f1 , ... , fN} de aplicaciones contractivas, y llamaremos razón de contractividad del SFI a r = máx {r1 , ... , rN}, donde cada ri es la razón de contractividad de la correspondiente fi.
Sea {f1 , ... , fN} un SFI en Rn de razón de contractividad r. Entonces existe un único fractal A Î H(Rn) / F(A) = A.
Además, para cualquier fractal B Î H(Rn) se cumple:
en el espacio métrico completo (H(Rn) , dH).
Sea {f1 , ... , fN} un SFI sobre Rn. Se llama atractor del SFI al único fractal A que verifica:
Un método para calcular el atractor asociado a un SFI consiste en partir de cualquier B Í H(Rn) e iterar la aplicación F sobre B, calculando {FK(B)}K = 0 , ... , ¥ . Aplicando el teorema del punto fijo, acotamos la distancia entre el atractor y la aproximación como sigue:
Esta aproximación se basa en el "Teorema del Collage" (M.F.Barnsley’86).
Sea I Î H(Rn) una imagen real. Dado e > 0 , sea {f1 , ... , fN} un SFI con factor de contractividad r / dH(I , F(I)) £ e.
Entonces:
donde A es el atractor del SFI.
Se puede observar que la aproximación del atractor a la imagen es tanto mejor cuanto menor sea el valor del factor de contractividad, y la aproximación no depende del número de aplicaciones del SFI.
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