El origen de la teoría de sistemas dinámicos complejos data de comienzos del siglo XX, con los trabajos de los matemáticos franceses Gaston Julia (1893 – 1978) y Pierre Fatou (1878 - 1929).
Los trabajos de Julia y Fatou, escritos en 1918 y 1926 respectivamente, no cobraron valor hasta las últimas décadas del siglo XX, en las que se ha podido observar la gran importancia y fuerte presencia de los sistemas dinámicos en el mundo real (predicción del tiempo, dinámica de poblaciones, ...).
Llamaremos sistema dinámico al par (X , f) formado por un conjunto no vacío X y una aplicación f : X -----> X.
Dado un punto x Î X, llamaremos órbita de x a la sucesión:
donde fn es la composición de f consigo misma n veces.
En un sistema dinámico (X , f), un punto x0 Î X se llama punto fijo si f(x0) = x0, y se llama punto periódico de periodo n > 1 si fn(x0) = x0 y fi(x0) ¹ x0 para cualquier i Î [1 , n).
Las órbitas de los puntos periódicos se llaman órbitas periódicas del mismo periodo que el punto.
El punto x0 se llama eventualmente periódico de periodo n si no es periódico y su órbita nos lleva a un punto que sí lo es.
Sea (X , d) un espacio métrico, (X , f) un sistema dinámico diferenciable y x0 ÎX un punto periódico de periodo n. Entonces el punto periódico x0 y su órbita se llaman:
Superatractivos si (fn)’(x0) = 0
Atractivos si 0 < |(fn)’(x0)| < 1
Indiferentes si |(fn)’(x0)| = 1
Repulsivos si |(fn)’(x0)| > 1
Intuitivamente, un punto periódico x0 se llama atractivo si la órbita de los puntos próximos a él converge a la órbita de x0, y se llama repulsivo si existen puntos infinitamente próximos a él cuya órbita se aleja de la órbita de x0.
Los sistemas dinámicos complejos son los sistemas dinámicos de la forma (C , f) / f : C -----> C.
Estudiamos el sistema dinámico complejo cuadrático (C , fC) / fC(z) = z2 + c , c Î C (c es un parámetro).
Julia y Fatou se plantearon el problema de estudiar la órbita de los puntos z Î C en el sistema dinámico (C , fC).
Observaron que para ciertos valores de c la órbita convergía a un punto fijo de la aplicación fC, mientras que en otros, la órbita divergía.
Cada uno de estos dos tipos de puntos constituye una región del plano complejo, y en medio queda una frontera infinitamente delgada que se conoce con el nombre de conjunto de Julia, y tiene estructura fractal.
Para representar gráficamente el conjunto de Julia para un cierto c Î C dado, lo único que hay que hacer es plantear el sistema dinámico (C , fC), y estudiar si la órbita de los z Î C diverge o no.
Para saber si dicha órbita diverge, buscamos si algún punto de la órbita tiene módulo mayor o igual que dos, ya que si esto ocurre, hay un teorema de cálculo complejo que nos dice que la órbita diverge.
Hay que acotar el número de puntos de la órbita que estudiamos para ver el carácter de la órbita. Una buena cota práctica puede ser considerar 100 puntos. Si se toma un número mayor de puntos, la representación del conjunto de Julia será más exacta, aunque a costa de un mayor tiempo de cálculo.
Este conjunto está asociado a los sistemas dinámicos complejos cuadráticos (C , fC) / fC(z) = z2 + c , c Î C.
A la vista de los diferentes conjuntos de Julia que se van obteniendo al elegir distintos valores del parámetro c Î C, surge la pregunta de si se pueden clasificar atendiendo a su forma o estructura.
La idea de la clasificación se basa en el hecho de que para cualquier valor del parámetro c Î C, el conjunto de Julia asociado, puede ser de los tipos siguientes:
Para representar el conjunto de Mandelbrot, hay que considerar lo siguiente:
Julia probó que para decidir la conexión del conjunto de Julia asociado a un sistema dinámico complejo cuadrático (C , fC), para cualquier c Î C, es suficiente estudiar la órbita de z = 0.
Para decidir si la órbita diverge, basta aplicar el teorema de cálculo complejo que nos dice que una órbita del sistema dinámico complejo (C , fC(z) = z2 + c) diverge si y sólo si algún punto de la órbita tiene módulo mayor o igual a dos.
Se puede afirmar que si la órbita de un punto permanece en módulo inferior a dos después de 100 iteraciones, entonces la órbita ya no diverge.
El conjunto de Mandelbrot no es un fractal autosemejante, pero tiene la propiedad de que es posible descubrir en su frontera infinidad de minúsculas copias del propio conjunto.
El conjunto de Mandelbrot es conexo (demostrado por J.H.Hubbord y A.Douady).
Estos conjuntos fueron desarrollados por Clifford A.Pickover en el Centro de Investigación Thomas J.Watson de IBM en Worktown Heights, Nueva York (Mandelbrot también trabajó en este centro).
La idea de estos conjuntos es la misma que la de los conjuntos de Julia, y lo único que varía es el sistema dinámico complejo que se considera, que no es (C , fC(z) = z2 + c), sino otro , como por ejemplo (C , fC(z) = z3 + c), ó (C , fC(z) = z2 + sen(z) + c).
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